Nilai Eigen dan Vektor Eigen

 NAMA               : KEVIN NUGRAHA SANTIKA PERMANA

NIM                    : 202231017

KELAS               : A

PRODI                : TEKNIK INFORMATIKA

MATA KULIAH : ALJABAR LINIER 

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Andaikan A matrik bujur sangkar berordo nxn, vektor taknol x di dalam Rn

dikatakan vektor eigen A, jika terdapat skalar tak nol λ sedemikian rupa sehingga, 

                                   Ax = λx 

λ disebut nilai eigen dari A dan X disebut vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan λ. 

Contoh : 

Vektor x = [1, 2] adalah vektor eigen dari : 

yang bersesuaian dengan nilai eigen, λ = 3, karena :

Teknik Menghitung Nilai Eigen (1)

Untuk menghitung nilai eigen matrik A yang berordo nxn tulislah Ax= λx sebagai 

                                                                                                           Ax= λ|x

                                                                                                           (λ|-A)x=0

Agar supaya λ menjadi nilai eigen, maka penyelesaian sistem persamaan linier diatas haruslah non trivial, dimana syaratnya adalah : 

det (λ-A)=0

Teknik Menghitung Nilai Eigen (2)

Persamaan terakhir adalah polinomial λ berderajad n yang disebut dengan persamaan karakteristik A, sedangkan nilai eigen matrik A adalah akar-akar persamaan karakteristik A (akar-akar polinomial dalam λ). 

Langkah-langkah menentukan nilai eigen dan vektor eigen matrik A adalah : 

(1) Bentuk matrik (λ|-A) 

(2) Hitung determinan, det (λ|-A)=0

(3) Tentukan persamaan karateristik dari, (λ|-A)=0 

(4) Hitung akar-akar persamaan karakteristik (nilai Lamda)

(5) Hitung vektor eigen dari SPL, (λ|-A)x=0

Contoh 

Carilah nilai eigen dari, 

Jawab : 

Bentuk, λ|-A yaitu: 

              

Persamaan karakteristiknya adalah : 

                   det(λ|-A)=λ2-2λ-8=0

Akar akar persamaan karakteristiknya adalah : λ1 = 4, dan λ2 = -2, dan inilah nilai eigen matrik A. 

Vektor eigen x dari A diperoleh dari : 

                                   (λ|-A)x=0

    

Untuk λ=4, diperoleh SPL 

       

Solusi SPL diatas adalah : 

       

Jadi, vektor eigen untuk λ=4, adalah x=[5,1], sedangkan vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = -2 adalah x= [1, -1]

Contoh : 

Carilah nilai eigen dan vector eigen dari, 

Bentuk, λ|-A yaitu : 

Persamaan karakteristiknya adalah : 

det (λ|-A) = λ3 - 6λ2 + 11 λ-6=0

Akar-akar persamaan karakteristiknya adalah = 

λ1=1, λ2=2, dan λ3=3

Vektor eigen x dari A diperoleh dari : 

                             (λ|-A)x=0

Untuk λ=1, diperoleh SPL 

Solusi SPL diatas adalah 

Jadi, vektor eigen yang bersesuaian dengan : 

λ=1 adalah x=[1,1,1];

λ=2 adalah x=[2,3,3];

λ=3 adalah x=[1,3,4].